教育论文

　摘要 数学课堂教学是实施创造教育，培养学生创新精神和实践能力的主战场。本文从三方面基于创新教育下的数学教学进行了阐述，第一章总体对创新教育的核心：素质教育深入阐述。第二章对“双基”教学探讨来阐述数学教学。第三章对数学教学应从哪些点上进行创新设计给出了详尽的阐述，并阐述了创新教育在教学内容﹑教学方法之间的关系，引导教师如何进行全方面的数学教学。

　 关键词：

　创新教育

　 双基教学

　教学观念

　Abstract Mathematics teaching is to implement the creation of education and train the students" innovative spirit and practical ability of the main battlefield. The three-pronged approach based on mathematics teaching under the Innovative Education described the core of the first chapter of the overall innovation and education: quality education into the details. Chapter II explore the "double base" teaching of mathematics teaching. The third chapter on mathematics teaching from which point on the innovative design gives a detailed and elaborated innovative education in the relationship between teaching content, teaching methods, to guide teachers on how to carry out all aspects of mathematics teaching.

　 keyword: Innovative Education

　 Double-based teaching

　Teaching principles

　目录

　 第 1 章 我国创新教育的发展史 ......................................................................... 1

　1.1 我国创新教育的理念 ................................................................................................... 1

　1.2 我国创新教育的发展 .................................................................................................. 1

　1.3 创新教育与素质教育的关系 ...................................................................................... 2

　1.3.1 数学教育从应试教育到素质教育的转变 ......................................................... 3

　1.4 论素质教育中传统的数学思想 .................................................................................. 4

　第 2 章 数学教学的研究 ..................................................................................... 7

　2.1

　数学“双基”教学的概述 ............................................................................................. 7

　2.2

　数学“双基”教学的模式 ............................................................................................. 7

　2.2.1 数学“双基”教学的几点思考 ...................................................................... 11

　2.2.2 数学例题的教学 .............................................................................................. 13

　2.2.3 数学证明的教学 .............................................................................................. 16

　2.2.4 中学数学思想方法的教学 .............................................................................. 17

　2.3 数学教学原则的深入学习 ........................................................................................ 17

　2.4 对数学教学研究的总结 ............................................................................................ 19

　第 3 章 创新教育下的数学教学 ....................................................................... 21

　3.1 数学教学中的创新设计 ............................................................................................ 21

　3.2 创新教育下数学教学的原则 .................................................................................... 23

　3.2.1 创新教育与教学内容 ...................................................................................... 24

　3.2.2 创新教育与教学方法 ....................................................................................... 25

　3.3 数学课堂教学中进行创新教育的几点策略 ............................................................ 26

　3.4 创新教育背景下数学教学的总结 ............................................................................ 27

　展望 ..................................................................................................................... 28

　参考文献 ............................................................................................................. 29

　致谢 ..................................................................................................................... 30

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　 1 第 1 章 我国创新教育的发展史 1.1 我国创新教育的理念 随着社会的发展，我国的教育事业不断改革进步。为实现新的教育突破点，作为教育者我们必须更深一步研究创新教育。所谓创新教育就是以培养人们创新精神和创新能力为基本价值取向的教育，其核心是在普及九年义务教育的基础上，在全面实施素质教育的过程中，为迎接知识经济时代的挑战，着重研究与解决在基础教育领域如何培养中小学生的创新意识、创新精神和创新能力的问题。其中，创新精神主要由创新意识、创新品质构成。创新能力则包括人的创新感知能力、创新思维能力、创新想象能力。从两者的关系看，创新精神是影响创新能力生成和发展的重要内在因素和主观条件，而创新能力提高则是丰富创新精神的最有利的理性支持。如何使教育者和受教育者认识到，每个正常的自然人如果经历适合创新人才成长的教育过程，使他的创新意识、创新精神、创新能力可得到培养，创新潜能可能得到开发，创新可能变成现实。

　1999 年，中共中央国务院颁发了《中共中央国务院关于深化教育改革全面推进素质教育的决定》，文件中明确指出：“实施素质教育，就是全面贯彻党的教育方针，以提高国民素质为根本宗旨，以培养学生的创新精神和实践能力为重点。在全面实施素质教育过程中，把培养具有创新精神和创新能力的人，作为素质教育的核心的重点和核心。创新教育是一种全方位的改造教育过程和学生成长过程的教育，是一种面向全体学生的素质教育，是一种即重结果，更重过程的创新特征的教育，是一种开掘创新潜能，培植创新人格的教育。

　1.2 我国创新教育的发展

　由于种种原因，创新理论的研究在我国起步比较晚。20 世纪 40 年代，著名教育家陶行知先生曾大声疾呼，发表《创造宣言》，写文章，办学校，身体力行，主张以激发人的创造性为教育的目的。1980 年的前后，上海交通大学的徐立言把创造学引入我国。1983 年 6 月 28 日至 7 月 4 日，在广西南宁召开了我国第一次创造学学术讨论会，成立了中国创造学研究会筹备委员会，标志着作为一门独立学科的创造学在我国诞生。1994年，中国创造学会在上海成立，会长袁张渡。北京、天津、上海、江苏、湖南、四川等30 多个省市成立了创造学会，一些城市如南京、沈阳、宜昌、常州、南通、廊坊等和一些高校、企事业单位也相继成立了创造学会。近 20 年来，我国高等学校创新理论与创

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　 2 新教育研究如雨后春笋地发展起来。1980 年创造学最早移植于上海交通大学。1993 年，首届全国高校创造学研讨会以后，高校的创造学研究者除了进行创造教育的实践以外，从创造学原理、创新文化、创造技法、创新教育等多层面多角度地对创新与创新教育理论展开了研究和探讨，取得了可喜成果，为我国创新教育的发展打下了理论基础。1980年以来，许多高校本、专科陆续开设了创造学、创新教育概论等创新理论课程。

　1.3 创新教育与素质教育的关系 素质教育是创新教育的基础和条件，良好的素质教育可以为创造型人才的成长提供强大的智力和非智力支持。素质教育和创新教育作为两个基本的教育质量观，它们可以“合二为一”，视为整体的、旨在提高学生综合素质的那种教育的组成部分。归根结底，二者都是一个保证与提高教育质量的问题。但是，作为两种教育价值观，素质教育和创新教育并不能合二为一，而要“一分为二”。相对于人们所说的素质教育，创新教育是一种更高层次上的教育，它要求学生不仅要成为有较高的综合素质、有创新意识和创新精神的人才，而且要成为具备创新思维和创新能力的社会精英人才。在教育实践中，素质教育和创新教育如同人们种花、种草、种树一样，我们可以指望得到“开花结果”的回报——培育了大批高素质创造型人才，但“枝繁叶茂”或“四季常青”—— 培养了大量高素质的劳动者，也未必不是一种成功和收获。创新教育和素质教育所包含的思想是开放的，将在实践中不断丰富和发展。

　提倡素质教育和创新教育具有深刻的现实意义和长远的历史意义。是否重视创新能力的培养，是传统教育与现代教育的根本区别之一。传统教育以教学内容的稳定性和单一性为基本出发点，以知识的记忆和复现为基本目标。它强调知识积累的数量和精确性，强调对已有知识的记忆。这就决定着传统教育把掌握知识本身作为教学的目的，把教学过程理解为主要是知识的积累过程，以掌握知识的数量和准确性作为评价的标准，以教师讲、学生听为基本教学模式，以模仿、操练和背诵为基本特点。教学过程中，教师只是对教材和教案负责，学生只满足于完成考卷和获得标准答案，导致“课堂记笔记，考试背笔记，考后忘笔记”。在传统教学过程中，教师是主动者和支配者，学生是被动者和服从者，师生之间不能实现平等意义上的意见交流，不能在平等水平上探讨科学知识。在这种教学模式下，不仅大学生的创新能力得不到良好的发展，而且正常的人格也往往得不到健康的发展。树立新型教育观，就是要树立素质教育和创新教育的基本理念，在

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　 3 重视学生综合素质、实践能力养成的同时，注意培养学生的创新精神、创新意识和创新能力。创新人才的培养要求创新的教育观念、创新的教育体制和创新的教育模式。

　1.3.1 数学教育从应试教育到素质教育的转变 由于数学是中学教育的一个主要内容之一，升学考试少不了它，因此它成了应试教育追逐的重点。国家从 1993 年以来一直提倡要变应试教育为素质教育，可是现在仍有不少地方口头喊的是素质教育，实际上实行的都是应试教育。在这种情况下，普通公民应具有的数学素质，有一半多的人在中学得不到或者不能够很好地得到教育；相反地，在片面追求升学率的教育和层层选拔的考试制度下，数学充当着扼杀不少人继续受数学教育的绊脚石。

　一﹑中学数学素质教育，应使中学生具备将来公民必备的数学素质。这一点要靠教材内容来实现。

　目前我国只普及了九年制义务教育，尚未普及大学教育。这就是说，我们还有一半的青年要从中学走向社会，这些青年的数学素质必须达到第一种水平。我们知道，抽象性，严谨性和应用的广泛性是数学的三大特性，在现行中学课本习题中，前两个特性体现得有过之而无不及，可是后一个特性却被大大地忽视了，课本中的习题是否真正能被大多数学生接受，这一点值得怀疑。从内容上讲，大多数题目是纯而又纯的数学问题，只注重了逻辑思维训练；从形式上讲，题型比较单一，几乎全是常规数学题，所涉及的解法也基本上是常规方法，这样就很容易使学生的思维固定在有限的几种模式上，虽然习题在一定程度上培养他们的逻辑思维能力和空间想象能力，但更多地使学生思维呆板、机械，不能有效地培养他们灵活分析和解决各种问题的能力。习题与现实生活严重脱节，课本中为数极少的应用题也仅流于形式，不够生动，与学生的生活相距很远。

　为了使中学生能够受到符合水平的数学教育，为了使学生不感到学而无味。不为考试而学、不感到数学成为一种负担，使学生能立即看到数学的作用对数学有兴趣，我们的教材内容必须进一步改革。少一点陈旧东西，加入一些生活中常见的东西(如计算器的使用、概率、规划、图上作业法等，并作为必修课)，使内容首先充分贴近生活，很实用，达到生活需要的水平，其次是为进一步学习作铺垫。习题安排上，要充分考虑趣味性和社会性，使学生感到有味、有用、想做，使学生更多地了解数学与社会的关系，学以致用；二要充分发挥习题的发展性和思维教育性功能，题型要多样化，封闭性习题、

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　 4 开放性习题、问题性习题、探索性习题都要有，既要有利于学生对知识的理解和推理技能的巩固，又要有利于对学生发散思维的培养，通过练习提高学生的科学思维素质。

　二﹑教学改革是教育由“应试”到“发展素质”的具体操作，是发展素质教育的动力。教学是学生为主体，教师为主导的双边活动，教学效果的好坏取决于教师。谨循传统，默守陈规的教学，是不适应素质教育要求的。

　要搞好素质教育，教师是关键。教师除具备传统要求的素质外，还须实行两点:1）勇于创新教学方法，敢于实验，不怕失败，不要只盯住眼前考试的名次而不去探求更好的教法。2）精于本行，知晓其它，不断提高。现代科学技术的迅猛发展，呈现出越来越明显的综合化、整体化的发展趋势。数学的应用非常广泛，数学教师必须掌握足够的理科知识和文科知识才能适应数学教学的需要。

　随着科技的发展，社会对人们具备数学素质的要求越来越高，公民在日常生活中所必需具备的数学知识，至少包括下列内容:会使用计算器(机)，懂市场预测、概率、统计、排队、运筹。对现今的教学必须来一个大的根本性的变革，这种变革靠现代科技来实现。

　三﹑数学素质教育成为政府行为，对于中小学的素质教育，政府必须尽心尽力。

　已出台一些政策，如“推行素质教育的十项具体措施”等。但具体到数学，除与其它科目有个划等级的评定方法外，无别的评价和激励方法。要想真正落实面向全体学生，须有教育行政部门的措施，把学校、教师对教好各个层次的学生的积极性都调动起来，推出一套有利于素质教育的评价制度，把学校、教师的兴奋点由“应试”引向“素质”。

　另外，增加对教育的资金投入是发展素质教育必不可少的条件。

　1.4 论素质教育中传统的数学思想 随着新的课程改革，很多人认为传统的数学思想和数学方法成为改革的绊脚石。而我认为，现代数学教育应建立在传统的数学文化和思想方法的基础上。学生只有掌握了传统数学思想方法，才能从整体上和本质上把握数学，从而实现教育目标，获得终身受益的东西。我将从数学的 5 个思想方法方面阐述传统的数学思想在素质教育中起了重要的作用。

　(一)数形结合思想 传统数学中，数形结合就是在研究数学问题时，由数看形、以形看数、数形结合考虑问题的一种思想方法。运用数形结合方法研究数学问题，可以把图形的性质问题转化

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　 5 为数量关系问题，或将数量关系转化为图形的性质问题，从而使复杂问题简单化，抽象问题具体化。

　(二)转化思想 在数学的学习过程中，总会学习到代数和几何问题，我们就需要把未知问题转化为已知信息，用以学过或已知道的方法来解决新问题，这就是转化的思想。转化思想一般在向量中普遍应用。下面我们来看一个列子。

　如：点 C B, 在线段 AD 上， M 是 AB 的中点。

　N 是线段 CD 的中点，若 , , b BC a MN  求 AD 的长。

　本题首先将线段 AD 转化成五条线段的和, 然后把线段中点的等量关系进行合并, 再将未知线段转化为已知线段, 这里转化思想是解题的关键。

　(三)分类讨论思想 近年来在中考或数学竞赛中, 经常出现多解问题, 尤其是平面几何题, 不少同学往往不注意应用分类的思想解题, 很容易导致解题不完整, 使答案不全面的问题。所以在数学的素质教育过程中分类讨论思想还是相当重要的。

　如：等腰三角形的面积为 2 , 腰长为 5 , 底角为 α ,求 α tan 。

　本题解答必须按顶角为锐角、钝角和直角三种情况进行讨论。一旦学生在做题前有分类意识, 做好分类讨论的准备, 就可以将失分率大大地降低。

　(四)方程思想 在初中数学中, 方程思想的应用不可缺少, 通常是应用题中的等量关系列出方程或方程组来求解。

　如: 一个角的余角比它的补角的72还多 5

　度,求这个角的度数。

　本题用余角、补角的概念和题意中的等量关系列出方程求解, 比用一般的直接用算术方法求解要简单得多。通常在一题多解中更能比较出方程思想的优势, 更看出方程思想的广泛性。

　(五)整体思想 在研究问题的过程中, 把一些彼此独立但实质又互相联系的量作为整体思考、整体处理的思维方法, 称为整体思维。掌握了这种思维方法对提高解决问题的能力大有好处。

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　 6 如: 某省初中数学竞赛的试题: 有 100

　道题让 3 名学生做, 他们每人做出了 60 道, 这时 100 道题已经被全部解出来了。

　有的只被 1 人解出, 有的被两人解出, 有的则被 3 人全解对了, 把只有一人解出的称为“难题”, 3 人全解对的称为“易题”, 问这 100道题中难题和易题哪一种多、多多少? 如果用方程组来解, 三个未知数只能列两个方程, 消去一元后, 只能得到另二元的关系式, 无法得出其确定值。好在本题要求的是 y x  , 所以可把 y x  作为“一元”, 看能否将三元方程组变成二元, 或一元, 以便达到求解的目的。

　由此看来, 传统数学思想和方法在新的素质教育环境中还将大有用场, 它必将对学生的终身发展起到很大的促进作用。随着新的课程改革，这些思想应该更深一步的渗透到数学创新教育中，为新的教育方式奠定良好的基础。

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　 7 第 2 章 数学教学的研究 2.1

　数学“双基”教学的概述 我国的数学教学是从“双基”教学逐渐成长起来的，了解“双基”教学可以使我们为创新教育的重要支柱。中国数学教育的特点“双基”，引领着我国数学走向一个崭新的局面。数学“双基”指得是数学基本知识和基本技能。但是，“数学‘双基’教学” 作为一个特定的名词，它的深层含义不仅仅是“双基”还包括在数学“双基”之上的发展。启发式、精讲多练、变式练习、提炼数学思想方法等，都属于“发展”的层面，却又和“数学双基”密切相关。

　我国的数学教学注重打好良好的基础之外，还注重“启发式”教学，强调数学思想方法、数学解题思维、分析问题和解决问题能力的培养等注重学生发展的方面。优质的数学教育，是将打基础和求发展紧密结合起来。“双基”教学在创新教育的过程中功不可磨灭。正所谓所说的：良好的基础是成功的基石。从上述的概念中我们了解了“双基”教学的简单概念。知道了它是中国教育的铺垫，带领着我国的教育持续向前迈进。“双基教学重视基础知识、基础技能的传授，讲究精讲精练，主张练中学，相信‘熟能生巧’，追求基础知识的记忆和掌握、基本技能的操演和熟练，以使学生获得扎实的基础知识、熟练的基本技能和较高的学科能力为主要的教学目标。”在新课标的要求和指导下，对于“双基”教学，并不与鼓励学生发展的教学理论相违背，只是要强调打好基础，要求学生在良好的基础上进行发展。

　2.2

　数学“双基”教学的模式 数学“双基”教学分为“双基”基桩教学、“双基”模块教学以及“双基”平台教学这样三个层次。

　 （一）“双基”基桩教学 “双基”基桩，指得是在数学学习中需要记忆、形成条件反射、熟练得成为知觉的一些运算规则、公式、和表示方式等内容。这些在数学结构中处于基层，相对比较枯燥，却十分重要。其中大量的程序性的知识，如“九九表”、分数的计算、有理数的运算、式的运算、证明书写格式等，都表现为一些规则的准确记忆和熟练执行。特别的这些规则超出学生的日常生活经验。教师必须采取“讲授”、 “告知”的方式进行传授，学生相对“被动”地接受。比如，学生无论如何活动，从自己学的知识中无法得到无理数、也无法得到“负负得正”的知识。合并同类项、因式分解、配方、根幂运算等，是学习

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　 8 方程和函数等知识的基础，是整个教学的基桩，必须打得坚实，能够不加思索的随手写出，随口说出。对于数学 “基桩”教学给出以下的实例“20 以内口算能力”的培养方案 一、训练步骤 每节课前三分钟进行口算练习，做到全体学生参与。分层训练，逐步提高。对于口算能力强的、反应快的同学加大体量和难度，加强他们计算的兴趣。对于口算能力较低的同学，减小题量和难度，让他们树立信心。每周制定一个小目标，每月制定一个大目标。达到目标要求的同学适当给予奖励。家长配合，共同训练。家长每天对孩子进行二十分钟的口算、笔算训练。让学生多想、多练，提高计算速度。

　二、检测方案 1.检测时间：每天一分钟。

　2.检测过程：笔试，教师事先岀好口算试题共计 40 道，印在一张卡片上，每个学生一份，一个学生报题目，另一个学生写答案，相互报题，一一作答。口试，教师只需一份题卡，一对一口试，统计答对题数。

　三、检测标准：

　每分钟做对 8 ～ 10 道题就算通过，要求单元结束时算对 8 题，学期结束时算对 10题，允许个别学生到本学期末达标。通过这样的训练学生对 20 以内的整数口算形成一种条件反射，张口就来，无需思考。记忆、速度是这里主要的教学要求。数学离不开计算，计算能力是小学数学的基本能力之一。培养学生“准而快”的计算能力，是小学老师的重要任务。下面是在教学中提高学生计算能力的一点做法：

　1.训练形式多样化，发散思维，形成熟记。

　充分利用孩子的好奇心，采取形式多样化的方法，促使学生熟记。如：20 以内的加减法是基础，在 0 以内数的组成与分解相当熟练后，开始学习得数是 11、12、13„的加法，同时学习相应的减法。如，只给一个数字“12”。让学生在规定时间内，看谁想出来的算式多，于是，   8 4 12 , 7 5 12 , 6 6 12 , , 12 8 4 , 12 7 5 , 12 6 6             训练中结合游戏，可以按座位做开火车的游戏一人说一题，不准重复。这样学生越练越熟，思维越来越灵活。

　2.让学生自己找窍门书记常用知识 如：常用数的换算：

　2 . 0 5 1 , 75 . 0 4 3 , 25 . 0 4 1 , 5 . 0 2 1    

　要让学生仔细观察其特点后再熟记。

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　 9 3.加强对比练习，提高计算的正确率。

　如：在教学正数四则混合运算时，可以选用这样的一组题目：

　   12 5 180 300; 12 5 180 300; 12 5 180 300       通过数字相同，但括弧位置不同，让学生进行辨别，熟练掌握其算法上的特点。

　4.根据意义熟记法则 有些内容的计算学生容易混淆，只有区别其意义，根据意义去计算，法则才清楚。为了加深印象，训练学生用以以及法则，经常用一体两题使其方法统一。

　5.利用手指熟记几何形体的计算公式 如：教完长方体的表面积公式后，采用手指记忆公式，方法是：用大拇指表示长，食指表示宽，中指表示高。每两个手指碰一下表示相乘一次，然后将积相加，所得的和在乘以 2，这样记忆学生既兴趣十足又印象深刻。

　（二）“双基”模块的教学 双基的基本呈现方式是“模块”．模块的构造如下：首先是主要知识点经过配套知识点的连接，成为一条“知识链”，然后通过“变式”形成知识网络，再经过数学思想方法的提炼，形成立体的知识模块。以一元二次方程的模块为例．首先需要具备整式运算的“基桩”技能．然后逐步形成以方程概念、求根公式，韦达定理等为主的知识链．接着通过变式，求解各种各样的一元二次方程，包括对含参数的 0 32  mx x 方程，讨论其实根分布的状况与 m 的关联等．于是，构成一元二次方程的知识网络，与此同时，在变式教学过程中，逐步渗透“化归”、“判别式”、“图像识别”、“根与系数的联系”等思想方法，形成坚实的双基模块。双基模块教学，有许多行之有效的经验，例如使用典型例题，通过变式形成问题串，然后提高到数学思想方法的高度加以总结。

　“双基”模块教学的模块如下图所示：

　以一元二次方程的模块为例: “双基”点链

　 变式教学 思想方法

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　 10 1.在具备整式运算的 “基桩”技能的基础上，第一形成以方程概念、求根公式、韦达定理、等为主的知识链，彼此呼应，紧密相连。这是初步的基础。

　2.通过变式，讨论各种各样的的一元二次方程，形成“一元二次方程”的知识网。这是形成“双基”模块的关键一步。在此过程中，有很多不同的变式，往往用例题、习题、考题的不同形态，使得学生对一元二次方程的认识深刻起来。例如，有以下的变式途径：

　1）从数字系数到字母系数； 2）从简单的求根到讨论其实根分布情况； 3）从一般的一元二次方程到含有参数 m 的方程（ 0 32  mx x ）； 4）从参数的一般性质到参数的变动范围、最大（小）值； 3.通过上述的变式，做大量的习题，不断反思、纠错、深化理解，构成一元二次方程的“双基”网。在变式教学过程中，逐步渗透 “化归”、“判别式”、“图像识别”、“根与系数的关系”等思想方法。通过这样三个参差的构建，“一元二次方程”的“双基”模块就在学生头脑中形成了。“双基”模块往往通过一个好的问题呈现出来。例如:已知函数:   R x x x fx2 1 ,,2 41,当212 1  x x 时，21) ( ) (2 1  x f x f ， 设     , 11 2 10 fnnfnfnf f a n         求na

　这是一道有限数列求和的问题，在用定积分求曲边梯形面积时，求得近似值。此题可以对 n 分为奇偶讨论得到答案，但做错的可能性很高。而用倒序相加法这一基本技能求等差数列前 n 项和，则是一个有效的解题方法。需要熟练掌握这种基本技能，需要用变式做系列练习。

　问题 2 方程     22 23 2 1 2       y x y y x m 表示椭圆，求 m 的取值范围。

　带参数的问题，是中国数学“双基”教学中的重中之重。第一步，把椭圆这样的解析几何的静态问题，用参数变成一个动态问题，难度从高降到中。事实上，此题考查的是椭圆第二定义的一个变式，这一边是蕴含在课本椭圆标准方程的推导过程中。参数、变式与椭圆的两种定义相互连接起来，就构成了一个“双基”模块。以上两个问题再次表现，将不通思想方法和知识链接生成的变式，是将“双基”链、“双基”网构成“双基”模块的重要手段。

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　 11 （三）数学“双基”平台的教学 数学“双基”平台是指在数学基桩和数学“双基”模块的基础上，解决比较困难数学问题而设置的一些专题研究，包括特定的数学问题、数学思想方法、数学知识点的交汇和链接。一些关于“双基”平台的例子：定值问题（解析几何，极值）；各种对偶问题；函数图象对称及周期性平台；函数 x b x a y sin cos   ；函数凹凸性的几何特征；等差数列与等比数列类比平台；数列  na 中 nS 与na 的关系；向量中三点共线的条件；圆锥曲线与直线的关系；立体几何中正方体对角线与面对角线的关系等。这些都是“双基”平台的基础，而且是逐渐发展的数学基础。

　2.2.1 数学“双基”教学的几点思考 “双基”教学重视基础知识、基础技能的传授，讲究精讲精练，主张练中学，相信‘熟能生巧’，追求基础知识的记忆和掌握、基本技能的操演和熟练，以使学生获得扎实的基础知识、熟练的基本技能和较高的学科能力为主要的教学目标。

　 一﹑创设意义情境，激发兴趣 作为教师应使教学紧紧围绕学生已经习得的数学知识背景创设学生感兴趣的问题情境。给出一个课堂教学创设情景的例子：在讲授“相似三角形的性质”这节课时，老师问：窗外的国旗正迎风飘扬，同学们知道旗杆的高度吗？在得到否定的回答后，又问：在一个晴朗的日子里，给你一把尺子，你能设计一个测量旗杆高度的方法吗？这样，学生的问题意识、探究行为、学习过程就能立即被启动起来。因些，一个好的数学情境，其内容应是具有启发性的，它能够吸引学生的注意力，诱发学生的质疑猜想；同时，亦可通过如举例、提供模型、解释等途径，激发全体学生的参与意识，这样有利于学生自主探究、合作与交流，有利于启发学生思考，提高他们学习的兴趣。

　二﹑注重理解而非记忆 数学的一些规则、概念、定律（如四则运算）往往是符号化和形式化的。这些枯燥的基础内容是非常重要，需要让学生对这些内容形成牢固的记忆，以便能灵活应用。形成牢固的记忆，不是通过死记硬背，而是通过有意的理解接受来实现的。“双基”教学所强调的记忆，是学生基本理解运算算理和法则的合理性基础上的。如：将公式或定理的枯燥记忆，变成让学生易接受的游戏活动，或具有意义的挑战性的竞赛，或耳熟能详的口诀。在繁琐的三角函数诱导公式，一句“奇变偶不变，符号看象限”让学生巧妙记忆，使学生终生难忘。

　 三﹑投入足够的学习时间

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　 12 不要急于回答学生提出的问题，留给他们足够的时间去思考；当思考不出结果时，可组织讨论、交流，让学生回忆是否遇到过相似的问题，在相互启发中寻求解决问题的方法；当问题解决之后，教师不要急于收场，让学生思考有没有更多的解决方法，能否由此提出新问题。

　学生对一个新的数学对象的初始学习，常常会遇到意义不够明晰和逻辑关系比较隐蔽的材料，一开始就要他们从事理解性学习是有困难的，他们需要时间去探究基本概念，生成与自己已有信息的联系。

　 四﹑关注学生的个性化表达 由于学生的年龄特征和表达的一般规律决定，学生需要在一种和谐、民主、互动的课堂氛围中才能做到乐于表达，善于表达。亲切的语言能缩短师生的心理距离，沟通师生的感情，融洽师生的关系。由此，我们要尊重学生的差异，提倡学生的个性化表达。

　五﹑用好变式，把握特征 利用反例、辨析题、变式题进行教学都属于变式教学。适当地安排一些反例能帮助学生注意先前没有注意的新特征，了解那些特征与某些特定概念相关或无关。对于何时、何地和如何运用所学的知识理解，可通过反例运用而增强，通过运用反例和辨析题制造认知冲突，可帮助学生把握数学对象的本质特征。通过各种变式学习，可以有意识地引导学生从“变”的现象中发现“不变”的本质，从“不变”的本质中探索“变”的规律，由此可帮助学生澄清一些本质与非本质属性的区别，实现对数学概念的多角度理解，进而逐步解决问题。

　六﹑培养解题反思的习惯 数学离不开反思。数学学习最核心的问题是解题，学生成绩差的最为突出的问题是不会仔细审题和解题后不会做反思。首先在审题的问题上，老师要讲明审题的重要性，在解题时，要对题目的信息进行准确的语言理解和表达，解题后可引导学生进行以下反思：回顾自己解题时所用的方法；解题的依据是什么；想想自己解题的思路；有无其他的方法，哪种方法最好；能否变通成另一类练习题。如果题解错了，则更应该反思错在哪里，同类题目解答时要注意哪些事项，如何避免差错再次出现。只要平时解题进行反思，并且养成习惯，就会对所学知识牢固掌握，而且会融会贯通，这样解题的正确率就会大大提高。

　这就是对“双基”教学的几点思考和建议，它能帮助我们在数学教学过程中让学生的主体性和思考、解题方面有大的成效。而且学生数学学习能力的提升有一定的作用。这样的数学教学，使老师教学成效很高。

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　 13 2.2.2 数学例题的教学 例题教学是数学教学的重要组成部分，是把知识、技能、思想和方法联系起来的一条重要途径。通过例题教学，要掌握基础知识、基本技能、传授方法、探索规律、启发思想、培养能力的目的。为了达到这些目的，必须在例题教学方法上遵循目的性、接受性、启发性、示范性、延伸性 5 个原则,从而使例题教学提高学生的思维能力和创新能力。

　1）目的性 教材中的每个例题目的和作用都不一样，不同的例题揭示不同的概念、推导某个公式、法则的运用。有的是为了使学生掌握解题技巧、强调解题规范和书写格式、突出数学思维方式。不同的例题安排在不同的教学环节上，侧重点不同。作为教师，必须根据教学的实际要求，钻研例题，领会意图、突出重点、兼顾课堂内容，充分发挥例题的作用。例如，讲授“两角和与差的正切”一节时，设计三道例题：

　例 1

　 2 tan31tan      ， 已知 。

　（1）

　求      cot 的值；（2）求          180 90 90 0     ， 的值（ ）。

　例 2 计算75 tan 175 tan 1的值。

　例 3 设 的两个根， 是一元二次方程 ) 0 ( 0 a tan , tan2    a c bx x   求      cot 的值。

　这三道例题总的教学要求是，帮助学生深入理解和记忆两角和与差的正切公式的意义，掌握公式的运用，但是教学目的各有不同，教学中应该掌握其真正的意义。例 1 是简单地运用公式，让学生熟悉公式的基本结构，属于公式运用的最低能力要求；例 2 间接的利用公式，并不体现两角和的正切公式，但与其公式形式上有相似之处，还要利用特殊角的正切值 1 45 tan   ，涉及了公式以外相近的知识，是知识的小范围综合和运用的小范围迁移，属于公式运用的稍高能力。例 3 在具体数学问题中对知识灵活与综合的运用，与两角和与差的正切公式的关系很不明显，涉及公式以外较远的知识，使知识大范围的综合性和和公式运用的较大范围的迁移性，是公式运用的较高能力要求。

　2）接受性 例题教学关键要使学生听得懂，接受得了。要做到这一点，教师必须做到“吃透两头”。一是吃透例题，即对例题的内容、知识范围、与前后知识的联系、技能水平、难

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　 14 易程度等要一清二楚；另一头是吃透学生，即对学生的知识水平、能力水平、经验水平、年龄特征等要心里有数对于一些难度较大，估计学生一下子接受有困难的例题，要减缓坡度，搭好适当的台阶，使学生感到只要转个弯就能达到。

　例 1 将下列各式化为一个角的三角函数形式：

　（1）

　；   cos22sin  （2）

　；   cos 3 - sin （3）

　  cos sin b a  。

　这道题的目的是学习化           sin cos sin2 2b a b a 的形式，这是一个非常重要的，有广泛应用价值的公式，让学生真正理解和熟练运用这个公式十分重要。但一开始就让学生直接来求公式的一般形式           sin cos sin2 2b a b a ，对高一大多数学生的认识能力来说难度偏大，（1），（2）两题实际是认识公式一般形式而设计的思维台阶，教学的处理是分散难点，表面上难度由易到难，本质上是从具体到抽象的思维过渡。由表面深入内部、由浅入深逐步揭示公式的本质。这样教学，既能突出重点，又能突破难点。对于运用这个公式的练习题也可以类似地设计：

　(1)求 x x y cos sin   的值域。

　(2)若 的值域。

　，求函数 且   2 2cos sin 26520        y

　(3)若         4sin ) 0 (32cos sin ，求 的值。

　 3)启发性

　 启发是例题教学中所遵循的基本要求，排斥注入式，坚持启发式，经过思维引导，使得学生原来闭塞的思路疏通，探究的欲望得以激发，思想的火花得以点燃，问题解决的途径得以寻找。例题教学中启发的关键是，摸清学生原有的知识背景和思维水平，遵循学生的认知规律，进程与学生的思维同步。不能脱离学生的思维起点，不能不顾学生的心理、思维状态，强制学生按教师提出的方法、途径去思考和解决问题。

　 4)示范性

　 例题，就是起范例作用的问题，要求例题本身要能具有示范性功能。立体的示范性就是问题内容典型、思路探索典型、解决方法典型、推理过程典型、运算步骤典型。典型指在问题的一般性、方法的常规性、思维的启迪性、推理的严密性、步骤的规范性 等方面具有代表性，可以成为学生的“心灵鸡汤”。

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　 15 例2 求证：

　  N n nn n         , 212141312112 2 2 2 。

　证明：因为   N n nn n n n n   , 211111 12， 所以

　左式  113 212 111  n n

　      n n1113121211 1 

　n12 

　这一证明并无问题，所用的部分分式是比较典型和常用的方法。但从教会学生学习的角度。关键是让学生明白的解决方法是如何找到的。严格的讲，部分分式是一种拆项的技巧，而不是问题的一般解法。因此教师必须为学生展示解法的搜索过程。此题与自然数有关，其解决方法应该是数学归纳法。

　证明：

　时，不等式成立。

　2  n

　假设   N k k    , 2 k n 时不等式成立，即

　k k121312112 2 2       。

　只需证   时， 则 1 n ,11 111!12  kk k k k k     22 2 211 121 k131211    k k

　  11 12  k k k 11 1 12   k k k 112 k 所以，当 时，元不等式成立。

　且 N n n   2

　应该让学生认识到，不等式证明中，作差法、作商法、数学归纳法等方法，放缩和按顺序比较大小更源于自然，更符合人的原始认识，是不等式证明最基本的思想，其他方法都是在此基础上发展演变来的。

　 5)延伸性

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　 16

　 其实在学习新知识的同时，学生也掌握了某种解题模式，在一定阶段他们会机械的照搬这个固定模式解题。如果不随时注意，形成心理定势，造成思维的呆板和僵化。在例题教学中，当学生获得某种解题的基本方法以后，应及时将原题的条件、结论、情景或方法延拓变通，使学生进一步理解和掌握例题所阐述的概念原理、规律、数量关系或解题方法，从而极大的开拓思维空间，达到培养创造性思维的目的。

　例 1 已知：如图，空间四边形 ABCD 中， E 、 F 分别是 AB 、 G 的中点， AD 、 H 分别是 CB 、 CD 上的点， 3 : 2 : :   CD CG CB CH ，求证：四边形 EFGH 是梯形。

　这道题的目的是加强对公理 4：

　“平行于同一条直线的两条直线互相平行”的理解和运用。对这个题可以进行很多变化：

　变式 1

　 已知不变，改求证：

　交与一点。

　和GF HE

　变式 2

　 已知：

　E 、 H 分别为 AB 、 BC 中点， 3 :  FD AF ，过 H 、 E 、 F 做一平面交 G 与 CD 。求证：

　交与一点。

　与HG EF

　变式 3

　 已知边长为 a 的四面体 ABCD 中， E 、 F 分别是 AD 、 BC 的中点。求 BE 、DF 所成的角。

　通过上面的讲解，作为老师在例题教学时，应该依照上述的原则教学。这样使学生容易理解，易接受，容易掌握，领略了例题之精华。而且教室上课效率也会提高，学生学习积极性调动。为学习数学奠定了基础。

　2.2.3 数学证明的教学 随着数学学习的不断深入，数学教师不仅寻求与学生学习水平相适应的证明概念，还应教给学生如何领会理解和评价数学命题的证明，以及提高学生作出证明的技能。数学证明的教学是数学教学的重要组成部分，由于数学证明受学生认知水平的影响，而且证明本身具有特点的影响成为数学教学中的难点。因此，数学教师在数学证明的教学中，应做好以下工作，使学生充分掌握证明技巧。

　 1)提高学生的证明意识

　 数学证明教学重要目的之一，发展学生的证明概念，提高学生的证明意识。提高证明意识，不仅加深学生对证明的理解和认识，而且对理解概念形成具有很大帮助的。

　 2)渗透原理逻辑 有良好的逻辑思维，可以使学生思维水平提高有质的飞跃。深刻理解知识深层概念。逻辑对于数学具有重要的意义，是判断一个推理是否正确提供依据。

　 3)使学生掌握证明的本质

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　 17 数学证明是根据已经确定真实性的公理、定理、定义、公式、性质等数学命题俩论证某一数学命题的正式性的推理过程。数学证明过程往往表现为一系列的推理。因而，证明的本质就是由推理得出命题正确性的过程 在证明的教学中，首先让学生明确这一过程的必要性，必须使学生掌握证明由论题、论据、论证三部分组成。让学生把握证明的过程，最主要的是学生能够对论题进行分析，找出论题中条件与结论的联系。

　2.2.4 中学数学思想方法的教学 在中学阶段，学生通过学习已经掌握了如下的数学思想方法：

　a) 字母代表数思想 b) 建立模型思想 c) 化归思想 d) 分解组合思想 e) 几何思想 f) 辩证思想 g) 函数与方程思想 这些思想方法，把数学知识内容的精华聚集在一起，关键发展学生的智力，培养创新人才奠定基础。因而在中学教学过程中注重数学思想方法的教学，教师应该从以下几方面进行教学。

　1) 充分挖掘教材中的数学思想方法 2) 有目的、有意识的渗透，介绍和突出有关数学思想方法 3) 有计划、有步骤的渗透，介绍和突出有关数学思想方法 不同的教学中，教师应深刻总结经验，结合具体内容和题目，渗透需要的思想方法，通过这样的方式来教学，不但让学生深刻理解题目的真正思想，由此从根本上掌握了方法。数学就是注重思想方法的深入与进一步发展。在中学数学教学中渗透思想方法的教学，能提高学生的学习能力、解题能力。是一种有效的教学方法。具体的数学思想方法应用于具体的教学中有利于教师主导地位的发展，学生主体地位的发挥。

　2.3 数学教学原则的深入学习 数学教学原则是数学教学经验的概括总结，来源于数学实践反过来知道数学实践，因此正确的贯彻数学教学原则，有利于提高教学质量，实现教学目的。教师应贯彻数学教学的原则，才能使学生掌握的很透彻，而且使教学发挥到良好的效果。在教学过程中，

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　 18 须遵守六条教学原则。具体如下：

　（1）抽象与具体相结合原则 在数学教学中，教师要注意从实例引入，阐明数学概念。注意数学逐级抽象的特点，做好有关知识的复习工作。教师在讲授较高层次的数学知识时，做好有关知识的复习工作，这样就为新知识的抽象创造了必要的条件。这种方法既符合数学的发展规律，又符合学生认识的发展规律，容易取得好的教学效果。还要培养学生抓住数学实质的能力。抽象与具体相结合，就是为了使学生对抽象的理论理解的正确，认识的深刻。在教学中只有不断地实施具体与抽象相结合，具体—抽象—具体，循环往复，才能不断将学习引向纵深发展，使认识逐步提高和深化。

　（2）

　严谨性与量力性相结合的原则 在教学中，教学要求应明确、恰当。为了符合学生的认识规律，适应学生原有知识基础和认识水平，某些数学课题可分为几个阶段来讲述。逐步深化，精确化。教学中要逻辑严谨，思路清晰，语言准确。不同的知识，要通过教师的耐心启发，详细讲解，通过学生反复练习后才能逐步掌握。教师在语言上要有较高的素养，不要滥用学生接受不了的语言和符号。不要把日常交流中不太准确的习惯语言带到教学中。教学上要有适当的梯度，注意由浅入深，由易到难，由已知到未知，由具体到抽象。由特殊到一般的讲解数学知识。要善于激发学生的求知欲，这样才能却得好的教学效果。在强调严谨性时，不可忽视学生的可接受性；在强调量力性时，不可忽略内容的科学性。两者有机结合，才能促进教学质量的提高。

　（3）

　理论与实践相结合的原则 在数学教学中以讲授书本知识为主，尽可能的联系实际，不断加强基础理论的教学，并通过解决实际问题的过程，促使学生做到学懂会用，学以致用。数学理论来源于实践。同一数学理论，可以来源于不同的生产和生活实际。例如:对于分式方程组3555211yxyx即 可以反映“去年兄弟两人年龄之比是 1 : 2 ，再过五年...