“离散数学”与人工智能教学关联性研究
谭涛 胥林 杨晗 张静
[摘 要] 人工智能作为离散数学教学的最新实践，针对离散数学与人工智能基础课程相关性进行了探讨，研究了离散数学对后续人工智能教学的主要贡献。从数学建模与问题解决两个方面阐述了人工智能大环境下对离散数学的教学思路，及在教学实践中进行相互衔接与渗透的方法，以此指导课程教学内容的优化与延伸。保持了课程教学的前沿性和时代性，提升了学生将基本理论知识与前沿学科应用相结合的能力，从而达到新工科要求下以实践能力为导向的人才培养目标。
[关键词] 离散数学;人工智能;数学建模;新工科
[基金项目] 2020年度教育部产学研教学内容和课程体系改革项目“面向人工智能的‘离散数学课程教学改革与实践”（202002292031）;2018年度西华师范大学教育教学改革项目“网页设计课程教学案例库建设及案例教学实践”（jgxmyb18184）
[作者简介] 谭 涛（1981—），女，四川南充人，硕士，西南石油大学信息学院副教授，主要从事机器学习和智能决策研究;胥 林（1977—），男，四川资中人，硕士，西南石油大学信息学院院长，教授，主要从事油田信息化、数据挖掘与分析研究;杨 晗（1983—），男，四川岳池人，硕士，西南石油大学信息学院副院长，副教授，主要从事数据库技术和虚拟仿真技术研究。
[中图分类号] G642.0 [文献标识码] A [文章编号] 1674-9324（2021）33-0141-04 [收稿日期] 2021-04-26
一、引言
2017年7月国务院发布《新一代人工智能发展规划》，描绘了未来十几年我国人工智能发展的宏伟蓝图和巨大前景。作为计算机学科的一个重要领域，人工智能技术的发展依赖于扎实的计算机专业基础知识体系构建。“离散数学”是计算机相关专业的专业核心课程，既是基础数学的延伸，又是数据结构、人工智能等课程的理论基础，在计算机学科中发挥着不可替代的作用。计算机专业的学生学习离散数学并非仅限于理论知识的学习或研究，更多的是将其作为后续专业课程学习的基础和工具[1]。文献[2]针对“离散数学”课程的教学目标、教学内容、教学设计等提出了相应的教学实施方案，分析了分层的模块化知识框架和特点，并对如何解决教学中的问题给出了建议。文献[1]提出要改革“离散数学”课程的教学模式，优化衔接教学内容与后续课程的相关知识，并通过加强运用理论知识对实际问题进行抽象建模和求解的能力培养，持续训练和提高学生的应用水平。文献[3-5]研究了大数据与人工智能时代离散数学的教学改革方法，展开了对大数据及智能技术融入离散数学教学的讨论。在人工智能时代背景下，发掘“离散数学”课程内容与人工智能课程学习之间的关联性，对“离散数学”课程重新审视和定位，将基础数学理论与人工智能应用前沿相结合。这一系列的教学改革问题值得我们做进一步的探究。
二、“离散数学”与“人工智能”课程教学的关联
“离散数学”是研究离散数量关系及结构的一门学科，其之所以成为计算机学科的核心基础课，是因为离散数学所研究的对象均是离散形式的，与计算机所服务的对象对应。同时，离散数学所研究的问题均是可行的，能在计算机上进行求解。本课程主要包括数理逻辑、集合论、图论及代数系统四部分内容[6]。通过各个教学环节逐步培养学生的抽象思维能力、逻辑思维能力、数学建模能力、证明技巧、形式化程序设计能力及综合归纳分析的能力，并为计算机学科的后续课程提供坚实的数学基础。人工智能作为离散数学教学的最新实践，笔者梳理了两门课程教学的关联点，从数学建模和问题解决两方面入手，探讨了离散数学对于后续人工智能教学的主要贡献，为在人工智能大环境下的离散数学教学提供了思路。表1给出了两门课程教学知识点之间的关联。
三、“离散数学”与“人工智能”课程教学的关联场景
（一）数理逻辑与知识表示及知识推理
经典数理逻辑是“人工智能”课程中的重要理论基础之一，数理逻辑是用数学方法研究推理形式结构和推理规律的学科，人工智能中的符号主义学派把焦点集中在基于逻辑推理的人类智能模拟上，如知识表示、推理、规划等，符号主义的大部分成果源于数理逻辑。数理逻辑作为“离散数学”课程中的重要部分，主要包括了命题逻辑和谓词逻辑两部分，其中命题逻辑是谓词逻辑的基础，谓词逻辑是命题逻辑的延伸和细化，是人工智能中实现智能推理的基础。符号主义学派认为智能取决于表示和推理，而数理逻辑中谓词逻辑符号化架起了知识表示与计算机实现的桥梁，同时谓词逻辑的推理理论，如归结原理是实现机器推理或自动推理的有效途径。利用推理理论实现智能推理的过程首先需要将其符號化，即知识表示;然后应用推理规则进行知识推理。故而谓词逻辑的符号化及推理理论应用等在人工智能中知识的形式化表示方面，特别是定理的自动证明方面，发挥了重要作用。在离散数学教学中，可重点讨论谓词公式的形式化表示及演算，同时对归结原理进行延伸，联系确定性推理的案例对归结原理的应用进行讨论，以拓宽学生的视野，为后续人工智能的课程学习打好基础。
在应用场景中，最典型的是人工智能专家系统。专家系统是一个具有大量的专门知识和经验的智能程序系统，根据某领域中一个或多个专家提供的知识和经验进行推理和判断，模拟人类专家的决策过程以解决该领域问题[7]。它的核心在于知识表示和知识推理。以数理逻辑为基础构建方式，采用谓词逻辑语言演绎过程的形式化和推理过程的实现，有助于我们更加清楚地理解领域知识及其推理过程。
（二）集合论与模糊理论
集合论是数学之本，几乎所有的数学概念都能用集合论语言来表达。集合是由各种不同元素构成的全体，从集合到关系，再到函数与运算，构建了数学学科基础。经典集合论语言作为强有力的建模工具，在人工智能的应用中，可以是专家系统知识表示的一种工具[8]，可以帮助建立机器学习中决策分类模型的表示和分类，还是模糊理论中模糊集合、模糊关系及模糊关系合成的基础。
模糊理论在人工智能中有着重要的运用。人工智能要研究的一个重要课题是对不精确、不完整、不确定的信息加以有效处理。模糊集合论作为基础描述工具，对以一般集合论为基础描述工具的数理逻辑进行扩展，通过模糊集合的有关运算和变换，对模糊对象进行分析，从而建立模糊推理理论，在人工智能技术开发中具有重大意义。在经典集合中，元素与集合的关系有属于和不属于两种，即有0/1二值，具有确定性，通常可用特征函数进行表示。而模糊集合是用以表达模糊性概念的集合，元素与集合之间通过表示元素属于集合隶属程度的隶属函数进行描述，隶属函数值是介于0和1之间的实数，模糊集合可用隶属函数进行表示。经典集合是模糊集合的基础，模糊集合是经典集合的推广，经典集合是模糊集合中隶属函数取0或1的特例[9]。
关系为特殊的集合。经典集合论中关系的定义与模糊关系之间存在类似经典集合与模糊集合间的对应关系。如应用场景：有一组学生U={张三、李四、王五}，他们对球类运动V={篮球、排球、足球、乒乓球}有不同的爱好，其爱好程度用下面的模糊关系来表示：R=■。但当上例中的爱好程度用R=■表示时，学生对球类运动的爱好程度不再是模糊关系，要么喜欢，要么不喜欢。由此可见，当模糊关系取值仅为0或1时，这种模糊集合就等同于经典集合，模糊关系也退化为经典关系的形式。在模糊理论中推理的关键步骤有模糊关系的合成，而模糊关系的合成沿袭了经典关系合成的基本思想，在经典关系合成中可采用关系矩阵的乘法，对应行列相乘再相加;而模糊关系合成仍可理解为模糊关系矩阵乘法，不同之处在于：对应行列的乘积运算被取小运算代替，求和运算被取大运算代替。厘清经典集合与模糊集合之间一般与特殊的关系后，可在离散数学教学的集合定义、关系定义和关系合成的讲解中适当引入“模糊”的概念并进行对比扩展，为人工智能模糊理论学习打下基础。
（三）图论与智能算法、机器学习及神经网络
图论是数学的一个分支，它以图为研究对象。离散数学中的图论主要有图的基本概念、特殊的图和树等，为计算机中相关模型的建立提供了直观、便捷的方式，大量计算机解决方案可以等价地转化为图论问题来处理。
在人工智能中，对于知识丰富的系统，通常采用推理实现问题的求解，而对于知识匮乏的系统，通常采用搜索技术。智能搜索是指在状态空间中，利用知识通过一些搜索方式尽可能有效地找到问题的解，即找到最优解的问题。而图作为搜索策略中状态空间表示的有力描述工具，不管是盲目搜索的深度优先和宽度优先策略，还是启发式搜索的A和A*的搜索算法，都以图的形式便捷、直观地描述了搜索模型，为智能搜索打下了坚实的理论基础。
在典型应用中，对图的遍历进行讨论的经典图模型——哈密顿图，更是为人工智能中智能算法解决的旅行商问题提供了强有力的描述工具。TSP问题可以用一个带权完全图G=（V，E）来表示，其中V是带有v=|V|点（城市）的集合，E是完全连接这些点的边的集合。每一条边e=（i，j）属于E且都带有一个权值，权值代表城市i与城市j之间的距离。TSP问题就是要找到图中的最短哈密顿回路。在人工智能中，群智能算法之一的蚁群算法最初用于解决旅行商问题，蚁群算法是对自然界蚂蚁的寻径方式进行模拟而得出的一种仿生算法，应用蚁群算法构建空间实际是以构建图为基础，故而在对人工智能中的智能算法的学习，同样依赖于基本图模型的构建及对最短路和哈密顿图遍历模型的理解。
机器学习作为人工智能的一个重要分支，是以数据为研究对象，以发现规律和关联为目标的工具。在机器学习的多种研究方法中，采用决策树建模的经验模型方法使用的是基本树形结构，以图论中树的概念为基础展开。文献[10]提出了基于图论的机器学习算法，把机器学习的问题归结为图论的问题，该类学习算法利用图论理论进行分析和求解。同时，由于网络与图论之间的天然关系，特别是图论与神经网络之间的联系，使得人工神经网络与图论之间密切关联并相互渗透。图论作为有用的建模工具广泛地应用于神经网络的多方面研究中[ 11 ]。文献[11]指出图论广泛应用于诸如神经网络的结构算法、神经网络的模型设计等。比如n维超立方体的子图可用于建立Boole函数模型，以此帮助解决离散前向人工神经网络用于分类问题的Boole函数线性可分性问题。
图作为离散型模式的一种描述工具，直观、清晰，便于进行模型建立。同时由于图的表达形式简洁，富有概括力，便于进行深入的理论分析，因此可在图论教学中图的基本概念、图模型建立和图的矩阵表示等内容上联系上述前沿应用进行拓展。
四、结语
本文所述是“离散数学”与“人工智能”课程衔接的几个重点应用，由于知识交叉，二者的关联性并非独立存在，在不同的实际应用场景中存在知识的渗透和融合应用。比如在机器学习应用研究中学习系统的建立仍涉及谓词逻辑的形式化表示和推理，在不同学习方法中仍会用集合论知识建立模型和分类等。这对离散数学基础课程的教学提出了更高的要求，结合教学实践和科研延伸，才能更好地在课程教学中发挥自如。
这两门课程关联性较高，厘清两门课程的有效衔接，有利于引导学生在理论学习中加深对计算机科学最新实践的认识与理解，并将其应用于实践。同时，在清楚前沿应用的情况下，反向促使学生加深对数学基础理论的学习和研究，做到有的放矢。两者的关联性讨论有利于保持课程教学的前沿性和时代性，有利于培养学生的计算思维能力，有利于提升学生将基本理论知识与前沿应用结合的能力。
参考文献
[1]苏庆，林华智，黎展毅.新工科形势下离散数学课程教学改革探索[J].计算机教育，2019（1）：25-28+32.
[2]屈婉玲，王元元，傅彥，等.“离散数学”课程教学实施方案[J].中国大学教学，2011（1）：39-41.
[3]仇晨晔.面向人工智能时代的离散数学教学方法研究[J].软件导刊，2019，18（12）：192-194.
[4]王寶丽，胡运红，张凤琴.人工智能技术融入离散数学课程的教学探索[J].高等理科教育，2019（5）：70-75.
[5]王海玲.大数据时代下信科专业离散数学教学改革[J].计算机教育，2020（7）：66-69.
[6]耿素云，屈婉玲，张立昂.离散数学[M].北京：清华大学出版社，2013.
[7]蔡自兴，刘丽珏，蔡竞峰，等.人工智能及其应用[M].北京：清华大学出版社，2016.
[8]石林珂，杨磊，裴婧，等.可拓集合论在专家系统知识表示中的应用[J].华北水利水电学院学报，2009，30（2）：101-104.
[9]王万良.人工智能导论[M].北京：高等教育出版社，2017.
[10]屠恩美.基于图论的机器学习算法设计及在神经网络中的应用研究[D].上海：上海交通大学，2014.
[11]许进，保铮.神经网络与图论[J].中国科学（E辑）：技术科学，2001（6）：533-555.
Research on the Relationship Between Discrete Mathematics and Artificial Intelligence Teaching
TAN Tao1， XU Lin1， YANG Han1， ZHANG Jing2
（1. School of Information， Southwest Petroleum University， Nanchong， Sichuan 637001， China;
2. School of Computer Science， Southwest Petroleum University， Chengdu， Sichuan 610500， China）
Abstract：
Artificial intelligence is the latest practice of Discrete Mathematics teaching. This paper discusses the correlation between Discrete Mathematics and artificial intelligence， and studies the main contribution of Discrete Mathematics to the follow-up artificial intelligence teaching. This paper expounds the teaching ideas of Discrete Mathematics in the artificial intelligence environment from the two aspects of mathematical modeling and problem solving， and expounds the methods of mutual connection and penetration in teaching practice， so as to guide the construction of teaching content and the optimization and extension of teaching content. It maintains the cutting-edge and epochal nature of the course teaching， improves the ability of students to combine the basic theoretical knowledge with the application of cutting-edge disciplines， so as to achieve the practical ability oriented talent training goal under the background of “emerging engineering education”.
Key words：
Discrete Mathematics; artificial intelligence; mathematical modeling; “emerging engineering education”
上一篇：让教学更生活,让课堂更生态
下一篇：基于微课的翻转课堂教学设计研究
