高中数学结构不良试题探究

摘要：新时期高考内容改革的重要特征就是从能力立意向素养导向转变，而结构不良试题适应了素养导向的特点，适应高考改革的要求，考查学生的知识迁移能力和思维转化能力，本文分四类专题探究结构不良试题.

关键词：结构不良;试题;素养探究

中图分类号：G632文献标识码：A文章编号：1008-0333（2022）13-0002-05

著名数学教育家波利亚曾说过：问题是数学的心脏.问题可分为结构良好问题和结构不良问题，在中学数学解题中大量出现的是结构良好的数学问题，结构良好是指提供的信息完整、数学结构理想、问题目标明确、解决过程和答案稳定.而结构不良试题并不是这个问题本身有什么错误或是不恰当，而是指它没有明确的结构、要求或解决的途径.

新时期高考内容改革的重要特征就是从能力立意向素养导向转变，而结构不良试题适应了素养导向的特点，考查学生的知识迁移能力和思维的转化能力，真正体现了学生的数学素养，适应高考改革的要求.对于一线教师而言，如何在课堂上引导学生探究理解结构不良试题尤其重要，特别是

在解三角形以及数列考查中比较常见，这种题型也可能成为考生获取高分的拦路虎.

解决结构良好与不良这两类问题所需要的技巧和能力有所不同，也就是说可以出色地解决课堂上的结构良好问题，并不能保证可以成功地解决现实生活中的结构不良问题.因此，解决结构不良问题对考查学生的素养和能力，发挥考试的选拔功能，促进学生素养的养成和能力的提升具有深远的意义，本文分四类专题探究结构不良试题.

1 解三角形中的结构不良试题例1在①S△ABC=23，②a-b=1，③sinA=2sinB这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求三角形的周长;若问题中的三角形不存在，请说明理由.（注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分.）

问题是否存在△ABC，它的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且c=7，csinA=acosC-π6，？

解析因为csinA=acosC-π6，

所以sinCsinA=sinAcosC-π6.

又因为sinA≠0，所以sinC=cosC-π6.

即sinC=sin2π3-C.

又因为C∈（0，π），所以C=2π3-C.

所以C=π3.

由余弦定理，得c2=a2+b2-2abcosC.

即a2+b2-ab=7，

若选①：因为S△ABC=12absinC，所以ab=8.

所以（a-b）2=7-8=-1，

与（a-b）2≥0矛盾.

所以满足条件的三角形不存在.

若选②：因为a-b=1，

所以a2+b2-2ab=1.

又a2+b2-ab=7，所以ab=6.

故a2+b2+2ab=25.

即a+b=5.

所以三角形周长C=a+b+c=5+7.

若选③：因为sinA=2sinB，所以a=2b.

联立a2+b2-ab=7，

解得a=2213，b=213.

所以三角形周长C=a+b+c=21+7.

本题考查的是正弦定理、余弦定理及三角形的面积公式，在已知条件下再选择一个条件来解，题目所给的三个可选择的条件是平行的，即无论选择哪个条件，都可解答题目，只是选择不同的条件可能得到相同的解或不同的解，但只要推理严谨、过程规范，都会得满分.

2 数列中的结构不良试题

例2在①Sn=n2+n，②a3+a5=16，S3+S5=42，③an+1an=n+1n，S7=56这三个条件中任选一个补充在下面的问题中，并加以解答.

设等差数列an的前n项和为Sn，数列bn为等比数列，，b1=a1，b2=a1a22.

求数列1Sn+bn的前n项和Tn.（注：如果選择多个条件分别解答，按第一个解答计分）

解析选①：当n=1时，a1=S1=2，当n≥2时，an=Sn-Sn-1=2n.

又n=1满足an=2n，所以an=2n，Sn=n2+2n2=n2+nn∈N*.

选②：设公差为d，由a3+a5=16，S3+S5=42，得2a1+6d=16，8a1+13d=42，

解得a1=2，d=2.所以an=2n，Sn=n2+2n2=n2+nn∈N*.

选③：由an+1an=n+1n，得an+1n+1=ann.

所以ann=a11，即an=a1n.

由S7=7a4=28a1=56，所以a1=2.

所以an=2n，Sn=n2+2n2=n2+nn∈N*.

①②③均可求得

an=2n，Sn=n2+2n2=n2+nn∈N*.

设bn的公比为q，又因为a1=2，a2=4，由b1=a1=2，b2=a1a22=4，得b1=2，q=2.

所以bn=2nn∈N*.

所以数列bn的前n项和为2-2n+11-2=2n+1-2.

因为1Sn=1n2+n=1nn+1=1n-1n+1， 数列1Sn的前n项和为1-12+12-13+…+1n-1n+1=1-1n+1.

故Tn=2n+1-2+1-1n+1=2n+1-1n+1-1.

本题考查数列的综合应用，涉及等差数列、等比数列的通项公式及前n项和，裂项相消法求和，由an=S1，n=1，Sn-Sn-1，n≥2n∈N*，等差数列的定义列方程组、递推公式an+1n+1=ann可分别求得①②③中数列an的通项公式及前n项和;根据题意可求得bn=2nn∈N*，利用等比数列的前n项和公式及裂项相消法即可求得数列1Sn+bn的前n项和，不论选哪个条件，始终有Tn=2n+1-1n+1-1.

3 立体几何中的结构不良试题例3如图1，已知等边△ABC的边长为3，点M，N分别是边AB，AC上的点，且BM=2MA，AN=2NC，如图2，将△AMN沿MN折起到△A′MN的位置.

（1）求证：平面A′BM⊥平面BCNM;

（2）给出三个条件：①A′M⊥BC;②二面角A′-MN-C的大小为60°;③A′B=7.在这三个条件中任选一个，补充在下面问题的条件中，并作答.

在线段BC上是否存在一点P，使直线PA′与平面A′BM所成角的正弦值为31010？若存在，求出PB的长;若不存在，请说明理由.（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）

解析（1）由已知得AM=1，AN=2，∠A=60°.

所以MN⊥AB.

所以MN⊥A′M，MN⊥MB.

又因为MB∩A′M=M，所以MN⊥平面A′BM.

又因为MN平面BCNM，

所以平面A′BM⊥平面BCNM.

（2）选条件①：A′M⊥BC，由（1）得A′M⊥MN，BC和MN是两条相交直线.

所以A′M⊥平面BCNM.

所以MB，MN，MA′两两垂直.

所以以点M为坐标原点，MB，MN，MA′所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图3所示的空间直角坐标系M-xyz，则A′（0，0，1）.

设P（2-a，3a，0），其中0<a≤32，则

A′P=（2-a，3a，-1）.

易得平面A′BM的一个法向量为n=（0，1，0）.

设直线PA′与平面A′BM所成的角为θ，则

sinθ=|cos〈A′P，n〉|=3a（2-a）2+3a2+1

=31010.

解得a=6±62>32.

所以不存在点P满足条件.

选条件②：二面角A′-MN-C的大小为60°，

由（1）得∠A′MB就是二面角A′-MN-C的平面角.

所以∠A′MB=60°.

如图3，过点A′作A′O⊥BM，垂足为点O，连接OC，则A′O⊥平面BCNM.

经计算可得OA′=32，OM=12，OB=32.

而BC=3，所以OB⊥OC.

所以OB，OC，OA′两两垂直.

所以以O为坐标原点，OB，OC，OA′所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图4所示的空间直角坐标系O-xyz，则A′（0，0，32）.

设P（32-a，3a，0），其中0<a≤32，

则A′P=（32-a，3a，-32）.

易得平面A′BM的一个法向量为n=（0，1，0）.

设直线PA′与平面A′BM所成的角为θ，则

sinθ=|cos〈A′P，n〉|=3a（32-a）2+3a2+34=31010.

解得a=32或a=3（舍去）.

所以存在點P满足条件，这时PB=3.

选条件③：A′B=7，在△A′BM中，

由余弦定理，得

cos ∠A′MB=A′M2+MB2-A′B22A′M·MB=1+4-72×1×2=-12.

所以∠A′MB=120°.

过点A′作A′O⊥BM，垂足为点O，则A′O⊥平面BCNM.

以O为坐标原点，OB，OA′所在直线分别为x轴，z轴建立空间直角坐标系（图略），则A′（0，0，32）.

设P（52-a，3a，0），其中0<a≤32，

则A′P=（52-a，3a，-32）.

易得平面A′BM的一个法向量为n=（0，1，0）.

设直线PA′与平面A′BM所成的角为θ，

则sinθ=|cos〈A′P，n〉|=3a（52-a）2+3a2+34=31010.

解得a=15±574>32.

所以不存在点P满足条件.

选择不同的条件，建系的方法不同，特别是选择第三个条件，∠A′MB是钝角，作垂线时要注意垂足的位置，这样点P的坐标才不会出错，还有要结合点P的位置注意a的范围，从而判断是否存在符合条件的点P，比较三个不同的选择条件，选①应该解题更简单点.

4 解析几何中的结构不良试题例4在平面直角坐标系xOy中：

①已知点A（3，0），直线l：x=433，动点P满足到点A的距离与到直线l的距离之比为32;

②已知圆C的方程为x2+y2=4，直线l为圆C的切线，记点A（3，0），B（-3，0）到直线l的距离分别为d1，d2，动点P满足|PA|=d1，|PB|=d2;

③点S，T分别在x轴，y轴上运动，且|ST|=3，动点P满足OP=23OS+13OT.

（1）在①②③这三个条件中任选一个，求动点P的轨迹方程;

（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）

（2）记（1）中的轨迹为E，经过点D（1，0）的直线l′交E于M，N两点，若线段MN的垂直平分线与y轴相交于点Q，求点Q纵坐标的取值范围.

解析（1）若选①：设P（x，y），根据题意，得（x-3）2+y2|x-433|=32.

整理，得x24+y2=1.

所以动点P的轨迹方程为x24+y2=1.

若选②：设P（x，y），直线l与圆相切于点H，则

|PA|+|PB|=d1+d2=2|OH|=4>23=|AB|.

由椭圆的定义，知点P的轨迹是以A，B为焦点的椭圆.

所以2a=4，2c=|AB|=23.

故a=2，c=3，b=1.

所以动点P的轨迹方程为x24+y2=1.

若选③：设P（x，y），S（x′，0），T（0，y′），

则（x′）2+（y′）2=3.（*）

因为

OP=23OS+13OT，所以x=23x′，

y=13y′.

整理，得

x′=23x，y′=3y.

代入（*）得x24+y2=1.

所以动点P的轨迹方程为x24+y2=1.

由上述解答我们可以看到，题目所给的三个可选择的条件显然①最直接，列出等量关系即可，只是运算稍微复杂一点;选②符合椭圆的定义，运算简单;选③利用相关点法，利用向量相等寻找数量关系，学生可能容易出错.

在2021年的八省适应性考试中，填空题15题：写出一个最小正周期为2的奇函数f（x）=（）.开放题终于在考试中与同学见面了，更是考查了学生的数学学习能力.所以结构不良试题的出现，是新高考题型的创新和改革，这是一种新的开放性试题的样式，学生可以根据自己的理解选择想要的条件，在解决问题中寻找各条件的关系.这种题型在解三角形以及数列考查中比较常见，因此，在复习的过程中，我们可以将解三角形和数列的结构不良问题作为训练的重点.

所以在高中数学教学中对结构不良试题的探究是非常必要的，能够更全面地考查学生的数学学科核心素养，考查学生思维的系统性、灵活性和创造性.作为一线教师，要引导学生根据具体问题情境从多个角度分析，考虑多个可能，寻找不同途径，归纳解决这类试题的应对策略.

参考文献：

[1] 中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（2017年版）＼[M＼].北京：人民教育出版社，2018.

＼[2＼] 王海田.2020年高考“三角函数”专题解题分析＼[J＼].中国数学教育，2020（18）：57-64.

＼[3＼] 任子朝，赵轩.数学考试中的结构不良問题研究＼[J＼].数学通报，2020，59（02）：1-3.

[责任编辑：李璟]

收稿日期：2022-02-05

作者简介：马满芳（1978.12-），女，广东省丰顺人，本科，中学高级教师，从事高中数学教学研究.[FQ）]

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