概率论与数理统计第一章_事件与概率精品教案

　 第一章

　事件与概率

　在自然界和人类社会中，人们观察到的现象大体可分为两类．一类是确定性现象，其特点是在一定条件下必然发生．例如，一枚硬币向上抛后必然下落，在标准大气压（101325Pa）下，水加热到 100℃时必然沸腾．另一类现象称之为不确定现象，其特点是在一定条件下可能出现这样的结果，也可能出现那样的结果，且在试验和观察之前，不能预知确切的结果．例如，向上抛一枚硬币，其落地后可能是正面朝上，也可能是反面朝上；幸运抽奖时，一张奖券可能中奖，也可能不中奖． 概率论与数理统计是研究和揭示随机现象统计规律性的一门数学，其理论与方法得到了广泛的应用．例如，使用概率统计方法进行气象预报、水文预报和地震预报，产品的抽样验收；在新产品研制时，为寻求最佳生产条件而进行试验设计和数据处理；在可靠性工程中，使用概率统计方法给出元件或系统的可靠性及平均寿命的估计；在自动控制中给出数学模型以便通过计算机控制工业生产等．其应用几乎遍及所有科学技术领域、工

　农业生产和国民经济各个部门中，而且还在不断向众多渗透并与之结合发展．这些特点不仅使概率论与数理统计成为十分活跃的数学分支，而且也是近代科学技术发展的特征之一．

　§1.1

　随机事件及其运算 1.1.1 样本空间与随机事件 为了叙述方便，我们把对自然现象、社会现象所进行的观察或科学实验，统称为试验．许多试验具有以下三个特点：

　（1）在相同的条件下可以重复进行； （2）每次试验的可能结果不止一个，且在试验之前已知试验的所有可能结果； （3）每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但在试验之前不能肯定会出现哪一个结果． 我们将具有上述三个特点的试验称为随机试验，简称试验，并记作 E ．本书中以后提到的试验均为随机试验．下面列举一些随机试验的例子．

　E 1 ：将一枚硬币抛掷一次，观察正面 H 、反面 T 出现的情况； E 2 ：将一枚硬币抛掷两次，观察出现正面的次数； E 3 ：先后掷两颗骰子，观察出现的点数； E 4 ：在一批电视机中任意抽取一台，测试它的寿命； E 5 ：城市某一交通路口，指定 1 小时内的汽车流量； E 6 ：记录某一地区一昼夜的最高温度和最低温度． 定义 1 随机试验 E 中可能出现的全部试验结果所组成的集合称为 E 的样本空间，记为  （或 S ）．样本空间的元素称为样本点，记为 ω ，即有{ }   ． 为研究方便起见，通常限定  中的试验结果，在每次试验中都有且仅有一个出现，即  中的元素是最基本的、不能再分解的试验结果． 记上述随机试验 E k 的样本空间为  k （ k =1,2,…,6），则容易得到：

　 1 ={ H ， T }， H ={出现正面}， T ={出现反面}；  2 ={0, 1, 2}；

　 3 ={( , i j ) | , 1,2,3,4,5,6 i j  }；  4 ={ t | 0 t 

　}；  5 ={0, 1, 2，3， }；  6 ={( x , y )|0 1T x y T   

　}，这里 x 表示最低温度， y 表示最高温度，并设这一地区温度不会小于0T 也不会大于1T ． 建立样本空间事实上就是建立随机现象的数学模型，一个抽象的样本空间可以概括许多内容不相同的实际问题，例如1 是只包含两个样本点的样本空间，但它即可以作为掷硬币出现正面或反面的模型，也可作为产品检验中产品合格与不合格的模型，还可用于公用事业排队现象中有人排队与无人排队的模型，以及作为气象预报中下雨与不下雨的模型等等．这说明尽管问题的实际内容不同，但有时却能归结为相同的概率模型．因此，我们常以抛掷硬币、摸球等这样一些既典型又形象且易于理解的例子阐明一些问题，以便使问题的阐述更明确，且使问题的本质更为突出． 称试验 E 的样本空间  的子集为 E 的随机事件，简称事件，常用大写字母 A ， B ， C ，……表示．在每次试验中，当且仅当这一子集中的一个样本点出现时就称这一事件发生．

　特别地，由一个样本点组成的单点集合，称为基本事件，例如，试验E 1 有两个基本事件{ H }和{ T }；试验 E 2 有 3 个基本事件{0}，{1}，{2}． 样本空间  是自身的子集，从而是随机事件，它包含所有的样本点，在每次试验中必然发生，称为必然事件．空集  是  的子集，从而是随机事件，但它不包含任何样本点，故在每次试验中都不发生，称为不可能事件．例如，掷一枚均匀骰子的试验中，  ={点数不大于 6}是一个必然事件，因为在试验中不论哪一个基本事件发生，均导致“点数不大于 6”这一结果出现；  ={点数大于 6}不包含任何样本点，是不可能事件． 1.1.2 事件间的关系与运算 事件是一个集合，因此事件间的关系和运算就可按照集合论中集合之间的关系和运算来处理． 设  为试验 E 的样本空间，而 A 、 B 、 A k （ k =1,2,…）是  的子集． 1. 事件的包含 如果事件 A 发生必然导致事件 B 发生，则称事件 B 包含事件 A ．记作B  A 或 A  B ，可用图 1-1 直观表示．

　2. 事件相等 若 A  B 且 B  A ，则称事件 A 与 B 相等，记作 A = B ．直观地说， A = B即 A 、 B 中含有相同的样本点． 3. 和事件 事件 A 与 B 至少有一个发生，称为事件 A 与 B 的和事件，记作 A  B（或 A + B ），即 A  B ={  |   A 或者   B }，它的几何表示如图 1-2．

　类似地，“事件 A 1 ， A 2 ，…， A n 中至少有一个发生”称为 A 1 ， A 2 ，…，A n 的和事件，记为1 21nk nkA A A A     . “可列个事件 A 1 ， A 2 ，…， A n ，…中至少有 1 个发生”称为 A 1 ， A 2 ，…，A n ，…的和事件，记作1 21n nnA A A A      . 4. 积事件 事件 A 与 B 同时发生的事件，称为事件 A 与 B 的积事件，记作 A  B（或 AB ），即 A  B ={  |   A 且   B }，它的几何表示如图 1-3． 类似地，“事件 A 1 ，…， A n 同时发生”称为 A 1 ，…， A n 的积事件，

　记作1 21nk nkA A A A     ．称1 21n nnA A A A      为可列个事件A 1 ，…， A n ，…的积事件，即“可列个事件 A 1 ，…， A n ，…同时发生”．

　图 1-1

　A  B

　图 1-2

　A  B

　图 1-3

　A  B

　5. 差事件 事件 A 发生而 B 不发生，称为事件 A 与 B 的差事件，记作 A - B ，即A - B ={  |   A 且   B }，如图 1-4． 6. 互不相容事件 若事件 A 与 B 不可能同时发生，则称事件 A , B 互不相容或互斥，即AB =  （不可能事件），如图 1-5．

　Ω

　 B A

　Ω A

　B

　 Ω A B

　7. 对立事件 若事件 A 与 B 满足条件 A  B =  ， A  B =  ，则称事件 A , B 互为对立事件或互为逆事件．通常将 A 的对立事件记作 A ，于是有 A A   ，A A   ，如图 1-6 所示．

　 图 1-4

　A - B

　 图 1-5

　AB = 

　 图 1-6

　A

　由定义可知， A 与 B 互为逆事件就是指 A 、 B 不能同时发生，但在每次试验中必有一个发生，且仅有一个发生． 事件满足下列运算律：

　(1) 交换律：

　A B B A    ， A B B A    ； (2) 结合律：( A  B ) ) ( C B A C     ，

　 ( A ) ( ) C B A C B      ；

　Ω

　A B

　Ω

　A

　B

　A

　 Ω

　A

　(3) 分配律：

　) ( ) ( ) ( C B C A C B A       ，

　) ( ) ( ) ( C B C A C B A       ； (4) 对偶律(De. Morgan 公式)：

　, A B A B A B A B       ． 例 1

　甲、乙、丙三人对某目标各射一次靶，用 A 、 B 、 C 分别表示“甲中靶”、“乙中靶”和“丙中靶”，试用 A 、 B 、 C 表示下列事件：

　（1）甲中靶，而乙、丙都未中靶； （2）只有乙中靶； （3）目标被击中； （4）三人中最多两人中靶； （5）三人中恰好一人中靶． 解

　(1) 事件“甲中靶，而乙、丙都未中靶”表示 A 发生， B 与 C 都未发生，即 ABC ． (2) 事件“只有乙中靶”表示 B 发生而 A 、 C 未发生，即 ABC ．

　(3) 事件“目标被击中”意味着甲、乙、丙三人至少有一人中靶，表示为 C B A   ，或 ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC       ． (4) 事件“三人中最多两人中靶”即“三人中至少有一人未中靶”，可表示为 C B A   ，或 ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC       或ABC ． (5) 事件“三人中恰好一人中靶”即“三人中只有一人中靶，而其余两人未中靶”，可表示为 ABC ABC ABC   ． 例 2

　用文字叙述各对事件的和事件、积事件的意义，并判断各对事件是否相容、是否对立。

　（1）

　A ：一批产品中(共 100 件)，废品数少于 8 个； B ：同一批产品中，废品数等于 8 个． （2）

　C ：在某段时间内，电话交换机收到的呼唤次数不少于 18 次； D ：在同一段时间内，电话交换机收到的呼唤次数不多于 18 次． 解

　(1) A  B 表示这批产品中，“废品数少于 8 个”与“废品数等于 8个”至少有一个发生，即废品数“不多于 8 个”； A  B 表示这批产品中，

　废品数既“少于 8 个”又“等于 8 个”，显然是不可能事件． A 、 B 互不相容，但不对立． (2)

　C  D 表示呼唤次数“不少于 18 次”与“不多于 18 次”至少有一个发生，是必然事件； C  D 表示呼唤次数既“不少于 18 次”又“不多于 18 次”，那就是“等于 18 次”． C 、 D 相容，不对立．

　§1.2

　概率的定义 一个事件在一次试验中可能发生，也可能不发生．不同的事件在同样的试验中发生的可能性有大有小．例如，在掷一枚均匀骰子时，事件 A ={点数为 6}发生的可能性比事件 B ={点数为偶数}发生的可能性小，因为 A 是 B的子事件．为了对随机试验有更深入的了解，人们希望对任一事件发生的可能性大小都能作出客观的描述，并用一个数值对它进行度量． 简单来说，随机事件 A 发生可能性大小的度量（数值），称为 A 发生的概率，记作 ( ) P A ．为研究概率的大小与性质，首先引入频率，用以描述

　事件发生的频繁程度． 1.2.1 频率 定义 2

　如果随机事件 A 在 n 次重复试验中出现了 n A 次，则称 n A 是 A在这 n 次试验中发生的频数，称 ) (A f n ＝nn A

　 (1.1) 为 A 在这 n 次试验中发生的频率． 不难证明，频率有如下性质：

　(1) 非负性：0≤ ) (A f n ≤ 1； (2) 规范性：

　) (nf =1； (3) 可加性：对于任意有限多个两两互不相容的事件 A 1 ， A 2 ，…， A n

　，有 11( ) ( )nnn i n iiif A f A   ． 每 n 次试验，事件 A 的频率一般来说是不同的，也就是说频率具有随

　机性．但当 n 比较大时，就一般而言， ) (A f n 能呈现某种规律性．为此，可先看下面的例子． 将一枚硬币抛 20 次，200 次，2000 次，各做 10 遍，得到下表中的试验数据（其中Hn 表示正面出现的次数）

　试验序号 N =20 N =200 N =2000 Hn f n ( H ) Hn f n ( H ) Hn f n ( H ) 1 2 3 4 5 6 7 8 14 11 13 7 14 10 11 6 0.70 0.55 0.65 0.35 0.70 0.50 0.55 0.30 104 91 99 96 99 108 101 101 0.520 0.455 0.495 0.480 0.495 0.540 0.505 0.505 1010 990 1012 986 991 988 1004 1002 0.5050 0.4950 0.5060 0.4930 0.4955 0.4940 0.5020 0.5010

　9 10 9 6 0.45 0.30 110 98 0.550 0.490 1018 1000 0.5090 0.5000 历史上，著名统计学家蒲丰(Comte de Buffon)和皮尔逊(Karl Pearson)曾进行过大量的抛掷硬币的试验，结果如下表． 实验者 n n H f n ( H ) 蒲

　丰 4040 2048 0.5069 K.皮尔逊 12000 6019 0.5016 K.皮尔逊 24000 12012 0.5005 从上述数据可以看出，抛硬币次数 n 较小时，频率 f n ( H )在 0 与 1 之间随机波动，其幅度较大，但随着 n 增大，频率 f n ( H )呈现出一定的稳定性，即当 n 逐渐增大时， f n ( H )总是在 0.5 附近波动，而逐渐稳定于 0.5． 随机现象有其偶然的一面，也有其必然的一面．这种必然性表现为大量观察或试验中随机事件的频率的稳定性，即一个随机事件 A 发生的频率f n ( A )通常在某个常数 P ( A )附近摆动，而且当试验次数 n 很大时，频率 f n ( A )便会很接近常数 P ( A )，这就是频率稳定性或随机现象的统计规律性．依照概率的统计定义，称这个 P ( A )为事件 A 的概率．但我们必须指出，一般来

　说， n 越大 f n ( A )越接近 P ( A )，但不能排除当1 2n n  时1 ( )nf A 比2 ( )nf A 更接近 P ( A )的可能性． 早在 17 世纪中叶，人们便开始了对随机现象的研究，建立了概率论中诸如事件、概率、随机变量和数学期望等基本概念．当时研究的模型较为简单，即现在通称的古典概型． 随着生产实践的发展，特别在射击理论、人寿保险、误差测量等工作中提出了一系列概率问题，促使人们在概率论的极限理论方面进行深入研究．起初主要是对贝努里(Bernoulli)试验模型进行研究，之后则推广到更为一般的场合．极限理论的研究在 18 世纪和 19 世纪整整 200 年中成了概率论研究的中心课题．在 20 世纪初，由于新的更有效的数学方法的引入，使这些问题得到了较好的解决． 虽然概率论历史悠久，但它的严格的数学基础的建立，以及理论研究和实际应用的极大发展却集中在 20 世纪．19 世纪末以来，数学的各个分支广泛流行着一股公理化潮流，主张把最基本的假设公理化，其他结论则由此演绎推出．在这个背景下，1933 年，前苏联数学家柯尔莫哥洛夫(A. H. К о л м о г о р о в )成功地将概率论实现了公理化，为一种普遍而严格的数学化概率理论奠定了基础，而在这个基础上已经建立起概率论的宏伟大厦． 概率论现在已大大扩展了其应用范围，特别在近几十年，概率论的方法被引入工程技术、农业和社会经济等．目前，概率论在电子信息、自动控制、工业产品的质量控制、农业试验、数量遗传、公用事业、金融保险和经济管理等方面都得到了重要应用．这些实际需要也有力地推动了概率论的发展，概率论和其他相结合还形成了信息论、排队论等边缘． 在这个时期，由于生物学、农业试验和计算机等的推动，数理统计学也得到了很大的发展．它以概率论为理论基础，又为概率论的应用提供了有力的工具和新的课题，两者相互推动、迅速发展，成为相得益彰的姊妹．而概率论本身的研究则转入以随机过程为中心课题，在理论和应用上都取得

　了许多有重要价值的研究结果． 1.2.2 概率的公理化定义 定义 3

　设 E 是随机试验，  为样本空间，若对于 E 的每一事件 A ，有一个实数 ( ) P A 与之对...